Dénombrer et optimiser (CM2)
Résoudre des problèmes de dénombrement (compter toutes les possibilités avec un arbre ou un tableau), d'optimisation (le moins, le plus possible) et des problèmes qui préparent aux algorithmes.
CM2 · 10-11 ansMathématiquesPériode 5 (mai-juin)
Je retiens
- Pour dénombrer, je dessine un arbre ou un tableau : aucun cas oublié, aucun compté deux fois.
- Si chaque choix se fait sans dépendre du précédent, je multiplie les nombres de choix.
- Optimiser, c'est trouver la meilleure solution et vérifier qu'on ne peut pas faire mieux.
- Pour un nombre secret, je propose toujours le milieu de ce qui reste possible.
L'essentiel
Dénombrer. Un cadenas a 3 molettes portant chacune les chiffres de 0 à 9. Chaque molette offre 10 choix : 10 × 10 × 10 = 1000 codes.
Parfois, un choix réduit les suivants. Quatre coureurs font une course : 4 peuvent gagner, puis il ne reste que 3 candidats pour la deuxième place, et 2 pour la troisième. Il y a 4 × 3 × 2 = 24 podiums possibles.
Parfois, il faut éviter de compter deux fois la même chose. Cinq enfants se serrent tous la main. Chacun serre 4 mains : 5 × 4 = 20. Mais la poignée de main entre Léa et Tom a été comptée pour Léa et pour Tom. Il y en a donc 20 ÷ 2 = 10.
Optimiser. Pour payer 7,80 € avec le moins de pièces possible, on prend d'abord les plus grosses : 2 € + 2 € + 2 € + 1 € + 50 c + 20 c + 10 c, soit 7 pièces. On vérifie qu'on ne peut pas faire mieux : il faut au moins 4 pièces pour 7 € et 3 pour 80 c.
Préparer aux algorithmes. Pour trouver un nombre secret entre 1 et 100 quand on te répond « plus grand » ou « plus petit », commence par 50. Chaque réponse élimine la moitié des nombres restants : 7 questions suffisent toujours.
Des exemples
- Un tournoi où 6 équipes se rencontrent toutes une fois : 6 × 5 ÷ 2 = 15 matchs.
Attention au piège
Le premier piège, c'est de multiplier comme si les choix ne dépendaient pas les uns des autres. Pour le podium de 3 enfants, 3 × 3 × 3 = 27 est faux : un enfant déjà premier ne peut pas être aussi deuxième. Il y a 3 × 2 × 1 = 6 podiums.
Vérifie que tu as compris
- Un cadenas a 2 molettes numérotées de 1 à 6. Combien de codes différents ?
- Quatre amis se serrent tous la main une fois. Combien de poignées de main ?
- Combien de pièces faut-il au minimum pour payer 3,70 € avec des pièces de 2 €, 1 €, 50 c, 20 c et 10 c ?
Réponses :
- 6 × 6 = 36 codes.
- 4 × 3 = 12, puis 12 ÷ 2 = 6 poignées de main.
- 4 pièces : 2 € + 1 € + 50 c + 20 c.
Pour les parents
Jouez au « nombre secret » entre 1 et 100 : votre enfant découvre vite qu'il vaut mieux commencer par 50 que par 1. Au restaurant, comptez ensemble les menus possibles avec la carte sous les yeux, en dessinant un petit arbre.
Exemples de questions du jeu
Je cherche un nombre secret entre 1 et 100. On me dit « plus grand » ou « plus petit ». Je commence par...
50 · 1 · 99
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50
Avec cette méthode, à chaque essai, il reste environ...
la moitié des nombres · tous les nombres · un seul nombre de moins
Voir la réponse
la moitié des nombres
Pour payer 38 € avec le moins de billets et de pièces (20, 10, 5, 2, 1), il faut...
4 · 38 · 5
Voir la réponse
5
Avec 4 chiffres différents, combien de nombres de 4 chiffres sans répéter ?
4 · 16 · 24
Voir la réponse
24
Pour ne rien oublier quand je compte les possibilités, j'utilise...
un seul exemple · un arbre ou un tableau · la chance
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un arbre ou un tableau
Ce que fait l’enfant
- résoudre de petits problèmes
- questions à choix
Un copain animal lit les consignes à voix haute : l’enfant peut jouer seul, même s’il ne lit pas encore bien.