Trouver tous les diviseurs (CM2)

L'essentiel

Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre sans en oublier, on cherche de façon organisée toutes les façons de l'écrire comme un produit de deux nombres.

Prenons 28. On essaie 1, puis 2, puis 3, et ainsi de suite :

• 1 × 28 = 28 ;
• 2 × 14 = 28 ;
• 3 ne marche pas (28 n'est pas dans la table de 3) ;
• 4 × 7 = 28 ;
• 5 et 6 ne marchent pas ;
• 7 × 4 : on retrouve une paire déjà trouvée. On peut s'arrêter.

Les diviseurs de 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Pour trouver les diviseurs communs à deux nombres, on écrit les deux listes et on garde les nombres présents dans les deux. Diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20. Diviseurs de 28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28. Diviseurs communs : 1, 2 et 4.

Des exemples

• Diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
• Diviseurs de 25 : 1, 5, 25, car 25 = 5 × 5 ; on n'écrit le 5 qu'une fois.
• Diviseurs de 23 : seulement 1 et 23.
• Quelques diviseurs de 90 : 2, 3, 5, 9 et 10, car 90 = 2 × 45 = 3 × 30 = 5 × 18 = 9 × 10.
• Diviseurs communs à 12 et 30 : 1, 2, 3, 6.

Attention au piège

Le premier piège, c'est d'oublier les deux diviseurs « évidents » : 1 et le nombre lui-même. 28 se partage en 1 seul paquet de 28 et en 28 paquets de 1 : ce sont bien des diviseurs.

Le deuxième piège, c'est de s'arrêter trop tôt ou de ne garder qu'un nombre de chaque paire. Quand tu trouves 2 × 14, note les deux nombres, 2 et 14. Range-les ensuite dans l'ordre pour vérifier qu'il n'en manque aucun.

Vérifie que tu as compris

1. Donne tous les diviseurs de 16.
2. Quels sont les diviseurs communs à 15 et à 27 ?
3. 7 est-il un diviseur de 84 ?

Réponses :

1. 1, 2, 4, 8, 16.
2. 1 et 3.
3. Oui, car 7 × 12 = 84.

Pour les parents

Proposez un problème de rangement : « Comment disposer 36 chaises en rangées égales ? » Votre enfant trouvera 1 rangée de 36, 2 de 18, 3 de 12, 4 de 9, 6 de 6, et les dispositions inverses. Ce sont exactement les diviseurs de 36. Des jetons ou des Lego rendent la recherche très concrète.