Combien de façons ? (CM1)

L'essentiel

Dénombrer, c'est compter toutes les possibilités d'une situation, sans en oublier et sans en compter deux fois.

Pour y arriver, il faut être organisé :

• fais une liste ordonnée : on fixe le premier choix et on fait varier le deuxième, puis on change le premier choix ;
• ou dessine un arbre : une branche par premier choix, puis des petites branches pour chaque deuxième choix.

Quand on combine un choix parmi a avec un choix parmi b, il y a a × b possibilités.

Optimiser, c'est chercher la meilleure solution : le moins de voyages, le plus d'objets, le moins de pièces. Il faut trouver une solution, puis vérifier qu'on ne peut pas faire mieux.

Des exemples

• Le koala a 3 tee-shirts et 4 pantalons. Pour chaque tee-shirt, il a 4 pantalons possibles : 3 × 4 = 12 tenues.
• Menu avec 2 entrées, 3 plats et 2 desserts : 2 × 3 × 2 = 12 menus.
• Avec les chiffres 1, 2 et 3, sans les répéter, les nombres de deux chiffres sont 12, 13, 21, 23, 31, 32 : 6 nombres.
• 50 enfants partent en minibus de 8 places. 6 minibus emportent 48 enfants : il en reste 2. Il faut au minimum 7 minibus.
• Payer 80 € avec le moins de billets possible : 50 + 20 + 10, soit 3 billets.

Attention au piège

Le piège, c'est de chercher les possibilités au hasard. On en trouve quelques-unes, on en oublie d'autres, et on en compte certaines deux fois. Pour les nombres faits avec 1, 2 et 3, un élève qui cherche au hasard trouve souvent 12, 21, 13, 31, mais oublie 23 et 32. Avec une liste ordonnée (ceux qui commencent par 1, puis par 2, puis par 3), rien n'échappe.

Pour l'optimisation, le piège, c'est de s'arrêter à la première solution trouvée. Payer 80 € avec quatre billets de 20 € fonctionne, mais ce n'est pas le minimum.

Vérifie que tu as compris

1. Un glacier propose 4 parfums et 3 nappages. Combien de glaces différentes à un parfum et un nappage ?
2. Avec les chiffres 5 et 8, en pouvant répéter un chiffre, combien de nombres de deux chiffres peut-on écrire ?
3. 30 personnes doivent s'asseoir à des tables de 4. Combien de tables faut-il au minimum ?

Réponses :

1. 4 × 3 = 12 glaces.
2. 4 nombres : 55, 58, 85, 88.
3. 8 tables (7 tables ne suffisent que pour 28 personnes).

Pour les parents

Proposez un défi de cadenas : « Un cadenas a deux molettes portant les chiffres 1, 2, 3 et 4. Combien de codes différents ? » (16, à lister avec un arbre). Pour l'optimisation, demandez comment payer 37 € avec le moins de billets et de pièces possible (20 + 10 + 5 + 2).